기나긴 수학의 짧은 역사

절대적이고 장구하며 편견과 선입견을 깨주는 진정한 학문, 수학을 만나다

수학에서 한 번 발견되고 엄밀히 증명된 것은 영원하다

“수학자의 작품은 화가나 시인의 작품만큼이나 아름다워야 한다. 아이디어는 색상이나 단어처럼 조화를 이뤄야 한다. 아름다움이 첫 번째 시험이다. 이 세상에 추한 수학이 설 자리는 없다.”

-고드프리 해럴드 하디

누군가는 정답이 있어 수학이 좋다고 하고 완벽한 공식은 아름답기까지 하다고 말하지만, 많은 사람은 사칙연산만 알면 일상생활에 아무 문제 없는데 왜 굳이 알 수 없는 기호와 복잡한 공식이 난무하는 수학을 배워야 하느냐고 묻는다. 그런데 안타깝게도 수학은 우리 곁에 늘 존재하고, 시스템 운용에 꼭 필요하다고 해도 과언이 아니다. 컴퓨터, 자동차, 스마트폰, 냉장고, 의료기기, 하물며 눈 결정체에도 수학이 들어 있다.

흔히 수학은 숫자의 과학으로 간주된다. 하지만 기하학은 도형, 확률론은 기회와 위험, 이른바 불대수(Boolean algebra)는 논리를 다룬다.

그렇다면 수학이란 무엇인가? 이 학문의 본질은 개념화다. 그것은 숫자로 시작한다. 예를 들어, 숫자 3은 무엇을 세는지와 무관하다. 사람 3명이든, 양 3마리든, 글자 3개든, 덕목 3가지든 이들이 지닌 유일한 공통점은 숫자라는 것이다. 인간, 동물, 기호, 속성 같은 다른 모든 내용은 가려진다.

수학적 대상은 실재하는 것이 아니라 관념이다. 수학자가 직선을 말할 때, 반드시 종이 위에 있는 유한한 선을 의미하지 않는다. 오히려 무한히 길고 무한히 가느다란 관념을 뜻한다. 마찬가지로 수학자에게 구(球)는 만질 수 있는 모양이 아니라, 구의 중심점으로부터 거리가 특정 값의 반지름을 초과하지 않는 모든 기하학적 위치의 총체다.

수학의 본질은 불필요한 모든 것을 삼가고, 각각의 맥락에서 중요한 것에 집중하는 것이다. 지도나 내비게이션 시스템으로 길을 찾아본 사람은 안다. 지도나 디스플레이에 표시되는 모든 정보는 세부 사항은 뺀, 한 장소에서 다른 장소로 이동하기 위해 어떤 도로를 이용해야 하는지 정도만 알려준다. 지도를 읽거나 내비게이션을 이용하는 누구든 집, 자동차, 보행자를 추상화한다. 그럼에도 가고자 하는 위치를 찾아간다.

수학자도 비슷한 방식을 취한다. 즉 문제를 푸는 데 필요하지 않은 모든 것을 생략한다. 수학자들의 과학은 본질을 인식하고, 정리하고, 새로운 연결 고리를 발견하는 기술이다.

여기서 특이한 점은 한 번 발견한 것은 영원히 유효하다는 것이다. 2×2는 영원히 4이고, 삼각형 내각의 합은 고대뿐만 아니라 다음 세기에도 180도(물론 공간이 휘어진 비유클리드 기하학에서는 이 법칙이 성립하지 않는다)다. 수학을 제외한 다른 모든 과학에서 지식은 언젠가 옛것이 되고 새로운 발견으로 대체된다. 물리학에서조차 태양 중심의 시스템은 모든 천체가 지구 주위를 돈다는 생각을 근대 초기에 대체했다. 그리고 100년 전, 상대성 이론과 양자역학은 뉴턴 고전물리학의 한계를 드러냈다.

수학은 우리 삶의 전제 조건이고 과학의 여왕으로 칭송받는 학문이지만, 그 정확성 때문에 많은 사람이 어린 시절부터 싫어하는 과목이기도 하다. 한편에서는 수학을 전문가에게 맡기면 된다고 주장한다. 스마트폰을 사용하는 데 그 내부 구조까지 알 필요는 없으니 말이다. 그러나 현대인은 일상생활에서도 수학에 대한 기본적인 이해가 필요하다. 게다가 많은 직업에서 이 학문의 지식은 필수적이다. 오늘날 모든 학문은 수학적 모델에 의존하고 있을뿐더러, 무엇보다 수학적 이론은 정신을 자극하고 시야를 넓혀준다.

이 책을 읽다 보면 저자 볼프강 블룸이 수학을 얼마나 사랑하는지 느낄 수 있다. 선사 시대부터 21세기까지 시간과 공간을 넘나들며 수학자들을 만나고, 통시적이면서 공시적으로 수학의 역사를 꿰뚫는다. 간략함 속에서도 풍성하고 흥미로운 이야기로 수학의 아름다움을 일깨우고, 우리 곁의 수학을 한층 너그러운 마음으로 볼 수 있는 혜안을 준다.

지은이 : 볼프강 블룸 Wolfgang Blum

독일 프리드리히 알렉산더 에를랑겐뉘른베르크 대학교(FAU)에서 수학 박사 학위를 받은 뒤, 이곳에서 수년간 연구했다. 〈디 차이트(Die Zeit)〉 〈게오(Geo)〉 〈쥐트도이체 차이퉁(Suddeutsche Zeitung)〉 〈서부독일방송(WDR)〉 등에서 과학 저널리스트로 일했다. 현재 독일의 인문계 중등 교육 기관인 뉘른베르크 김나지움에서 수학과 물리를 가르치고 있다. “이게 뭔가요 자연과학은 쉬워요!(WAS IST WAS Naturwissenschaften easy!)” 시리즈의 수학편 《순전히 우연일까?: 확률과 행운을 계산하다(Purer Zufall? Wahrscheinlichkeiten und Gluck berechnen)》 《모든 것은 수이다!: 자연적이고 비이성적이며 무한하다(Alles ist Zahl! Naturlich, irrational und unendlich)》를 집필했다. 또 《시간의 발명(Die Erfindung der Zeit)》 《논리의 문법(Grammatik der Logik)》 등을 펴냈다. 2010년 독일수학회에서 수여하는 올해의 수학 저널리즘상을 수상했다.

옮긴이 : 김재호

서울시립대학교에서 수학을, 서울대학교 대학원에서 철학(윤리학)을 공부했다. 학술기자·과학기자·탐사보도 연구원을 거쳐, 현재 〈교수신문〉 과학·학술팀장으로 일하면서 〈브릭〉에 ‘생태 에세이’를 기고하고 있다. 지은 책으로 《레이첼 카슨과 침묵의 봄》, 《소프트웨어가 세상을 지배한다》, 《대한민국 소프트웨어 성공 방정식》, 《다시 과학을 생각한다》(공저), 《인공지능, 인간을 유혹하다》(공저), 《자유롭게 김광석 이야기》, 《취업 진담》(공저) 등이 있다. 옮긴 책으로는 《인체에 관한 모든 과학》이 있으며, 〈원 헬스(One Health) 측면에서 보건 연구의 동향〉 〈고령화 시대의 진전과 생명과학 및 의학기술의 변화〉 등 소논문을 발표했다.

시작하며: 수학은 무엇인가

선사 시대: 최초의 수｜바빌론｜주판｜이집트인｜기하학｜중국의 수학

고대 시대(기원전 600∼기원후 300): 그리스인의 3가지 고전적 문제｜첫 번째 증명｜모든 것은 수｜아카데미｜《원론》｜지구 측정하기｜유레카｜그리스인의 한계

고중세 시대: 0의 발명｜아라비아의 방정식｜종교적 동기를 띤 수학

중세 말기 시대: 아라비아 숫자

르네상스 시대: 산술의 대가｜수도사의 숫자｜방정식이 논쟁을 일으키다｜문자로 계산하기｜콜럼버스의 이중 실수｜정확한 지도｜계산 도구｜원근법

계몽주의 시대: 운동의 수학｜미분을 둘러싼 격렬한 논쟁｜0과 1의 세계｜무한의 문제｜베르누이 형제｜생산적인 오일러｜모호함의 수학｜잘못된 선택

19세기: 궤도 계산하기｜수학의 왕자｜완두콩 세는 사람｜기하학의 르네상스｜방정식을 둘러싼 비극｜혼란스러운 무한대

20세기: 세기의 23가지 문제｜토대에 대한 논쟁｜비밀 메시지｜카오스｜벤포드의 기괴한 법칙｜컴퓨터로 증명하기｜수학적 아름다움｜성취｜공으로 채우기

21세기: 밀레니엄상｜사라진 천재｜수학계의 여성들｜스도쿠

참고문헌

사진·그림 출처

옮긴이의 글

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