수학의 숲을 걷다

“수학의 본질을 꿰뚫다!”

위상수학의 거장이자 수학올림피아드의 스승

송용진 교수와 떠나는 47번의 수학 개념 산책

‘수학’에 대해 어떤 이미지를 갖고 있는가? 출구가 안 보이는 미로, 어렵지만 가까워지고 싶은 친구, 또는 재미있는 게임 등 사람마다 느끼는 바는 다를 것이다. 하나 분명한 것은 수학은 어려운 학문이라는 점이다. 간단해 보이는 개념과 기호들도 수많은 수학자들이 어렵게 깨닫고 정리한 것들이니 말이다. 그렇기에 수학의 기초 개념은 쉽게 이해하고 습득할 수 있는 것이 아니다. 수학공부 때문에 마음고생을 한 경험이 있다면, 자연스러운 일이다.

배우고 깨치기 어렵지만, 수학은 우리 삶에 필요한 학문이다. 학교 공부에서 필수 과목이고 경제 및 사회 현상이나 역사적 흐름 등을 설명하는 데도 빠질 수 없다. 수천 년간 인류 문명과 함께 발전해 온 유일한 학문이자 지적 유산이다. AI 시대에 더욱 필수적인 논리력, 사고력, 문제해결력을 키워 주는 학문이기도 하다. 꼭 이공계 전공자가 아니더라도 수학을 알아야 하는 이유다. 그런데 이토록 중요한 수학을 우리는 얼마나 제대로 알고 있을까? 팍팍한 경쟁 속에서 이해할 틈도 없이 공식을 외우고 문제 풀이에만 급급하지 않았던가? 빽빽한 나무 사이에서 헤매다 숲을 못 보고 지나오지 않았던가? 위상수학 분야의 세계적 권위자이자 국제수학올림피아드 한국대표단을 30년간 이끌어 온 송용진 교수는, 많은 사람들이 갖고 있는 수학에 대한 갈증을 해소하기 위해 이 책 《수학의 숲을 걷다》를 썼다.

저자는 한평생 수학교육의 최전선에서 헌신하며 받은 수많은 질문들, 즉 수학을 공부하는 사람들이 궁금해하고 어려워하는 개념 원리 중 47개를 추려 소개한다. 실수, 집합과 함수, 극한과 미적분 등 수학의 핵심 개념들을 엄선하고 그 개념들의 진정한 의미를 적절한 비유와 사례를 들어 명쾌하게 설명한다. 수학을 전공하거나 입시를 준비하는 학생뿐 아니라 수학에 호기심과 궁금증을 가진 모든 이들에게 추천한다. 수학을 효과적으로 지도하는 방법과 통찰의 기회를 제공하므로 수학 교사 등 교육자에게도 일독을 권한다.

지은이 : 송용진

서울대학교 수학과에서 이학사, 오하이오주립대학교에서 위상수학 분야 이학박사를 받았다. 1991년부터 인하대학교 수학과 교수로 재직 중이고, 30년간 국제수학올림피아드 한국대표단 단장 또는 부단장을 역임하며 대한민국이 두 차례 1등을 거머쥐는 데 기여했다. 현재 국제수학올림피아드 선출직 위원으로도 활동하고 있다. 국제적인 위상수학자이면서 한편으로는 우리나라 최고의 수학 영재들을 가르치며 수학 발전에 기여해 왔다. 30여 년간 풀리지 않던 해러의 추측 문제를 해결하고, 수학 영재교육에 헌신한 공로 등을 인정받아 2020년 과학기술훈장 혁신장, 2015년 서울시문화상을 받은 바 있다. 지은 책으로는 《영재의 법칙》, 《수학자가 들려주는 진짜 논리 이야기》, 《수학은 우주로 흐른다》, 《조합론》(공저) 등이 있다.

서문 편안한 마음으로 수학을 되짚어 볼까요?

1부 수학의 가치

_수학, 진리를 찾는 열쇠

1. 수학공부, 꼭 해야 하나요?

2. 수학에 소질이 없는데 어떡하죠?

3. 어떻게 하면 수학을 쉽고 재미있게 공부할 수 있나요?

4. ‘수학은 신의 언어’ 너무 거창한 말 아닌가요?

5. 수학은 ‘발견’인가요, ‘발명’인가요?

6. 수학자들은 어떤 연구를 하나요?

7. 앞으로는 수학문제를 AI가 풀어 줄 텐데요?

2부 실수

_수를 읽는 지적인 시간

8. 1+1은 2일 수도 있고 아닐 수도 있나요?

9. 그래서 √2란 무엇인가요?

10. 0은 왜 그렇게 중요한 수인가요?

11. 음수 곱하기 음수는 왜 양수인가요?

12. 분모의 유리화는 꼭 해야 하나요?

13. 저는 90°가 π/2보다 더 편한데요?

3부 집합과 함수

_모든 것을 담는 상자

14. 집합은 꼭 필요한 개념인가요?

15. 집합은 어떻게 논리에 쓰이나요?

16. 집합끼리 곱한다고요?

17. 좌표가 왜 그렇게 중요한가요?

18. 함수는 input, output으로 이해하면 되는 것 아닌가요?

19. 함수와 그래프를 왜 구별해야 하나요?

20. 일대일함수와 전사함수란 무엇인가요?

21. 연속함수란 무슨 의미지요?

4부 극한과 미적분

_아름다운 무한의 세계로

22. 그래도 0.999⋯는 1보다 작은 수 아닌가요?

23. 극한이란 구체적인 수가 아니라 접근하는 상황 아닌가요?

24. 미분과 적분은 왜 쌍으로 다니나요?

25. 평균값정리는 왜 자주 등장하나요?

26. 미적분을 왜 배워야 하나요?

27. 왜 자연상수 e가 중요한가요?

28. 지수함수는 정의하기 어렵다고요?

29. dy/dx는 실제로 분수인가요?

30. 역함수는 어떻게 쓰이나요?

5부 수의 신비

_세상의 비밀을 담고 있는 수에 대한 이야기

31. 소수는 왜 중요한가요?

32. 허수 i는 어떤 수인가요?

33. 복소수에는 어떤 비밀이 있나요?

34. π를 왜 신비로운 수라고 하나요?

35. π의 근삿값은 얼마나 정확하게 구해졌나요?

36. 초월수란 무엇인가요?

37. 피보나치 수열은 왜 그렇게 유명한가요?

6부 수학과 논리

_생각의 힘을 키우는 법

38. 논리가 철학이 아니고 수학이라고요?

39. 현대적인 논리학이란 어떤 것인가요?

40. 수학공부에는 어떤 논리가 필요한가요?

41. ‘만족하다’가 맞나요, ‘만족시키다’가 맞나요?

42. 귀류법은 왜 어려운가요?

43. 수학적 귀납법은 정말 완벽한 것인가요?

44. 열린구간 (0, 1)의 최댓값은 무엇인가요?

45. 무한에는 작은 무한과 큰 무한이 있다고요?

46. 왜 무리수가 유리수보다 더 많나요?

47. 그리스의 공리적 논증수학이란 어떤 것인가요?